GUTE DINGE: Mathematik für Lotto

Vertrauen ist gut, Mathe ist besser.

Mathe schützt im Alltag vor Dummheiten.

Lotto 6 aus 49

Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 richtige und Zusatzzahl.

Die Definition der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist wie folgt definiert:

P (A) =

Anzahl aller Möglichkeiten, die zu A gehören / Anzahl aller Möglichkeiten des Zufallsversuchs

Beim deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen 6 angekreuzt. Die Anzahl der Möglichkeiten dieses zu tun ist:

${49 \choose 6} =\frac {49!} {6! \cdot 43!}=\frac {49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44} {6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=13.983.816$

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 Gewinnzahlen genau 6 anzukreuzen ist:

${6 \choose 6} =\frac {6!} {6! \cdot 0!}=1$

Das Ereignis , dessen Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll lautet:

A: sechs richtige im Lotto

Zu A gehört genau eine Möglichkeit von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist $P(A)=\frac {1} {13.983.816} \approx 0,000.000.072$

die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 6 richtige zu haben.

Als neues Ereignis definieren wir B: 4 richtige im Lotto.

Das bedeutet, von den 6 Gewinnzahlen wurden 4 angekreuzt, 2 der angekreuzten Zahlen gehören zu den 49 – 6 = 43 nicht Gewinnzahlen.

Die Anzahl der Möglichkeiten von 6 Gewinnzahlen 4 anzukreuzen ist:

${6 \choose 4} =\frac {6!} {4! \cdot 2!}=\frac {6 \cdot 5} {2 \cdot 1}=\frac {30} {2}=15$

Die Anzahl der Möglichkeiten von den 43 nicht Gewinnzahlen 2 anzukreuzen ist:

${43 \choose 2} =\frac {43!} {2! \cdot 41!}=\frac {43 \cdot 42} {2 \cdot 1}=\frac {1806} {2}=903$

Damit ist die Anzahl der Möglichkeiten für 4 richtige im Lotto:

${6 \choose 4}\cdot {43 \choose 2} =15 \cdot 903= 13.545$

Zu B gehören also insgesamt 13.545 Möglichkeiten von insgesamt 13.983.816 Möglichkeiten.

Damit ist $P(B)=\frac {13.545} {13.983.816}\approx 0,00097$ die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 4 richtige zu haben.

Folgendes Schema soll noch mal die Notwendigkeit der Multiplikation von 15 mit 903 veranschaulichen:

	1	..........	903	2 aus 43
1	ggggnn	..........	ggggnn
.	.	..........	.
.	.	..........	.
.	.	..........	.
15	ggggnn	..........	ggggnn
	4 aus 6

In einer Zeile bleiben die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) gleich, die angekreuzten nicht Gewinnzahlen (nn) ändern sich.

In einer Spalte bleiben die angekreuzten nicht Gewinnzahlen (nn) gleich, die angekreuzten Gewinnzahlen (gggg) ändern sich.

Als neues Ereignis definieren wir C: 5 richtige mit Zusatzzahl.

Anzahl der Möglichkeiten für:

5 Gewinnzahlen angekreuzt (5 aus 6) ${6 \choose 5}=6$

1 Zusatzzahl angekreuzt (1 aus 1) ${1 \choose 1}=1$

0 Nicht Gewinnzahlen angekreuzt (0 aus 42) ${42 \choose 0}=1$

$P(C)=\frac {{6 \choose 5} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 0}} {{49 \choose 6}}=\frac {6 \cdot 1 \cdot 1} {13.983.816}=\frac {6} {13.983.816}\approx 0,000.000.429$

ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp genau 5 richtige mit Zusatzzahl zu haben.

Sie ist sechmal so groß wie die für 6 richtige.

Zusatzinformationen

In Deutschland betreibt der Deutsche Lotto- und Totoblock Zusammenschluss der Landes-Lotteriegesellschaften das Lottospiel. Man kann zusätzlich am Spiel Super 6 und Spiel 77 teilnehmen. Zu den 6 Zahlen werden zudem noch eine Zusatzzahl und eine Superzahl gezogen. Die Zusatzzahl wird aus den restlichen 43 Kugeln als siebte, nach den ersten 6 Zahlen, gezogen. Sie erhöht bei den niedrigeren Gewinnklassen den Gewinn um eine Stufe.

Demgegenüber ergibt sich die Superzahl (nur) für den Jackpot aus den Zahlen 0 bis 9, die auf dem Lottoschein bereits vorgemerkt ist. Das ist sozusagen ein weiteres Los - allerdings mit der Auswirkung, dass diese Chance um das Zehnfache niedriger wird. Die Superzahl wird nach der Ziehung der Lottozahlen aus einer Extratrommel, die 10 Kugeln mit den Nummern 0 bis 9 enthält gezogen.

Gewinnklassen

Gewinnklasse	Anzahl der richtigen	Wahrscheinlichkeit bei einem Tipp
Klasse 1	6 mit Superzahl	$\frac {{6 \choose 6}} {{49 \choose 6}} \cdot \frac {1} {10}=\frac {1} {13.983.816} \cdot \frac {1} {10}\approx 0,000.000.007$
Klasse 2	6	$\frac {{6 \choose 6}} {{49 \choose 6}}=\frac {1} {13.983.816} \approx 0,000.000.07$
Klasse 3	5 mit Zusatzzahl	$\frac {{6 \choose 5} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 0}} {{49 \choose 6}}=\frac {6} {13.983.816}\approx 0,000.000.429$
Klasse 4	5	$\frac {{6 \choose 5} \cdot {43 \choose 1}} {{49 \choose 6}}=\frac {258} {13.983.816}\approx 0,000.0185$
Klasse 5	4 mit Zusatzzahl	$\frac {{6 \choose 4} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 1}} {{49 \choose 6}}=\frac {630} {13.983.816}\approx 0,000.0450$
Klasse 6	4	$\frac {{6 \choose 4} \cdot {43 \choose 2}} {{49 \choose 6}}=\frac {13545} {13.983.816}\approx 0,000969$
Klasse 7	3 mit Zusatzzahl	$\frac {{6 \choose 3} \cdot {1 \choose 1} \cdot {42 \choose 2}} {{49 \choose 6}}=\frac {17220} {13.983.816}\approx 0,00123$
Klasse 8	3	$\frac {{6 \choose 3} \cdot {43 \choose 3}} {{49 \choose 6}}=\frac {246820} {13.983.816}\approx 0,0177$
	2	$\frac {{6 \choose 2} \cdot {43 \choose 4}} {{49 \choose 6}}=\frac {1.851.150} {13.983.816}\approx 0,132$
	1	$\frac {{6 \choose 1} \cdot {43 \choose 5}} {{49 \choose 6}}=\frac {5.775.588} {13.983.816}\approx 0,413$
	0	$\frac {{6 \choose 0} \cdot {43 \choose 6}} {{49 \choose 6}}=\frac {6.096.454} {13.983.816}\approx 0,436$